三囚人問題  Topics

三人の死刑囚 A, B, C が各々独房に入れられている。 時の為政者の計らいにより, 三人の内の一人は (等確率で無作為に選ばれて) 釈放されることになり, 残り二人は処刑されることになった。 囚人達もこのことを知らされているが, 誰が釈放されるかまでは誰も知らされていない。

処刑の数日前, A は独房を見回りに来た看守に対して, 誰が釈放されるか教えて欲しいと頼んだが, 拒否された。 しかし諦めず, 「だったら, B と C の内, 処刑されるものの名前を一人だけ教えてくれ。 三人のうち二人が処刑されるから, 二人のうち少なくとも一人が処刑されるのは確実だ。 それなら, その内の一人の名前を聞いたところで, 俺が処刑されるかどうかとは無関係だから, 教えてくれてもいいじゃないか。 なあ, こうしよう。 B が釈放されるなら C だと言ってくれ。 C が釈放されるなら B だと言ってくれ。 俺が釈放されるなら, B と言うか C と言うかはコインを投げて決めてくれればいい。 勿論, 今コインを投げたら俺が釈放だと分かってしまうから, 答は明日教えてくれればいい。 お願いだ。 頼む」。
と言って, まんまと看守を説得した。 生真面目な看守は翌日, A の言った通りのやり方で答えを決め, C が処刑されると A に告げた。

看守の誤算だったのは, 実は A と B の間では密かに情報を伝達し合う方法が出来あがっていて, A は上で述べた看守とのやり取りの一部始終を B に教えてしまったことであった。

さて, C が処刑されるという情報を得て, A も B も, 自分が釈放される確率が 1/3 から 1/2 にあがったと喜んだ。 釈放される確率に関する A とこの結論は正しいであろうか。
[岩沢宏和 逆確率の罠, 確率パズルの迷宮, 数学セミナー (7), 2011]
[遅くとも 1959 年の Martin Gardner の Scientific American 誌の有名なコラムには出ているそうだ]


解答:
誤り。 A の釈放される確率は 1/3 で, B の釈放される確率は 2/3.
解答 (1) 看守の話を聞く前は, A, B, C の釈放される確率は皆 1/3 である。
「三人のうち二人が処刑されるから, B と C の二人のうち少なくとも一人が処刑されるのは確実で, その内の一人の名前を聞いたところで, A が処刑されるかどうかとは無関係」 というのは正しい。 従って, 看守の話を聞いても A が釈放される確率は変わらないので 1/3. (ここが直感に反する所である)
又, 看守の話から, C が釈放される可能性は排除される。 つまり, C が釈放される確率は変わらないので, B が釈放される確率は 1 - 1/3 - 0 = 2/3. (前段を納得すれば, 後段は何の不思議もない)

解答 (2) Bayes’ theorem による。
A, B, C から一人を等確率 1/3 で無作為に選んで釈放者とする。
釈放者が A である (この事象を同じ A で表す。 以下 B, C も同じ) 場合には, B, C の内の一人を等確率 1/2 で無作為に選んで処刑者の名前として明かす。
釈放者が B である場合には, C を処刑者の名前として明かす。
釈放者が C である場合には, B を処刑者の名前として明かす。

処刑者の名前として明かされたのは C であった (この事象を Z と書く)。

Z が成立しているという条件下で A が成立している確率 P(A|Z) は
P(A|Z)
= P(Z|A)P(A)/(P(Z|A)P(A) + P(Z|B)P(B) + P(Z|C)P(C))
= ((1/2)・(1/3))/((1/2)・(1/3) + 1・(1/3) + 0・(1/3)) = 1/(1 + 2) = 1/3.
同様に Z が成立しているという条件下で B が成立している確率 P(B|Z) は
P(B|Z)
= P(Z|B)P(B)/(P(Z|A)P(A) + P(Z|B)P(B) + P(Z|C)P(C))
= (1・(1/3))/((1/2)・(1/3) + 1・(1/3) + 0・(1/3)) = 2/(1 + 2) = 2/3.

これは形を変えた Monty Hall problem である。
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タグ: 数学



2019/6/1  13:57

投稿者:ベイズ

三囚人問題は,Monty Hall問題とは異なるので解答(1)は誤りです。解答(2)が成り立つには,Cが処刑されるとAに告げたときに,A又はBが釈放される割合が1:2でなければなりません。Aが釈放の場合に, B,C の内の一人を等確率で選ぶとしても,Cが処刑されると告げたときに,AとBの釈放割合が1:2とは限りません。

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