三角函数に関する等式  高校数学

Prop. [仁平政一, 茨城大学非常勤講師, 元茨城県立藤代高等学校]
△ABC は C = ∠R の直角三角形,
tan α = b/a (0 < α < π/2),
p, n は 1 ≦ p ≦ n を満たす任意の実数とする。
この時
a sin(pα/n) + c sin((1 - p/n)α) = b cos(pα/n).

証明:
tan α = b/a は α = B を意味する。
辺 CA 上に ∠CBD = pα/n となるように点 D を採る。
次に BD = x と置くと
△ABD + △DBC = △ABC
なので
(1/2)cx sin((1 - p/n)α) + (1/2)ax sin(pα/n) = ab/2.
一方, 定義から
a/x = cos(pα/n).
x = a/cos(pα/n).
従って, 代入して
ca sin((1 - p/n)α)/cos(pα/n) + a2 tan(pα/n) = ab.
∴a cos(pα/n) + c sin((1 - p/n)α) = b cos(pα/n) QED.

Cor.
2c sin(α/3) + a tan(α/3) = b.

上記の式で p = 1, n = 3 とせよ。
更にこれで α = π/6, π/4, π/3 とすると次の式が得られる。
4sin(π/18) + (√3)tan(π/18) = 1,
2(√2)sin(π/12) + tan(π/12) = 1,
4sin(π/9) + tan(π/9) = √3.
更に α = 5π/6, 5π/4, 5π/3 とすると次の式が得られる。
4sin(5π/18) - (√3)tan(5π/18) = 1,
2(√2)sin(5π/12) - tan(5π/12) = -1,
4sin(5π/9) + tan(5π/9) = -√3.

[数研通信 No. 69. 数研出版]
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タグ: 数学 高校



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