ラマヌジャンの公式  定理

f(z) = z/((e^(2πz) - 1)(1 - e^(-2πiz)))
O = 0, A = N + 1/2, B = Ai, C = A(1 + i) とし,
積分路 c: O→A→C→B→O, (但し, 極は半径 ε < 1/2 の半円又は四分円で内側から回り込む) を取る。
この積分から留数定理を経て
Σn=1 1/(e^(2nπ) - 1) = 1/24 - 1/(8π)
を得る。

[吉田知行 エレガントな証明 vs. 良い証明, 数学セミナー (4), 2014]
0
タグ: 数学 定理

超越数  定理

任意の代数的数 α (0 < |α| < 1) と fn = ±1 (但し f2n + 1 = (-1)nf1) となる数列 {fn} に対し, Σn∈Nfnαn は超越数になる。

[M. Mendès France and A. van der Poorten, 1981]
0
タグ: 数学 定理

可算集合  定理

自然数 (非負整数) 全体の集合と正の有理数全体の集合との間の一対一対応として,
f(x) = 1/(1 + 2[x] - x), 但し [x] は x を超えない最大の整数, 所謂ガウス記号) として
n → fn(0) = f(fn - 1(0))
で表すことが出来る。

[有澤順, 有理数をカウントする数式, 数学セミナー (12), 2013]

[M. Stern,Übereine zahlentheoretische Funktion, Crelle’s Journal, vol. 55 (1858), pp. 193--220]
[Donald Knuth, American Mathematical Monthly, vol. 108, 2001, p. 872, 問題 10906]
[A. Malter, D. Schleicher and D. Zagier, New looks at old number theory, American Mathematical Monthly, vol. 120, 2013, pp. 243--264]
0
タグ: 数学 定理

定幅曲線  定理

一般に幅 W の定幅曲線の周の長さは πW.

(E. Barbier, 1860, の定理からの帰結)
0
タグ: 数学

Maclaurin の不等式  定理

全ての ai > 0 (i = 1, 2, 3, ..., n) の時
Σai/n ≧ (Σ(1/ai)Πai/n)1/(n - 1).
0
タグ: 数学 定理

二項定理の応用例  定理

Leonhard Euler: Institutiones calculi differentialis (1755) Chapt IV. De conversione functionum in series の Exemplum I. (pp 292 u. Folgende) (このPDFでは p.5) は大変参考になる。



二項定理 pn(x + y) = Σs + t = n nCs ps(x) pt(y) を満たす多項式の例:
pn(x) = xn, (上昇冪) x(x + 1)(x + 2)…(x + n - 1), (下降冪) x(x - 1)(x - 2)…(x - n + 1), x + yCn (この場合を van der Mond の畳み込みと言う), x(x + (n - 1)/2)(x + (n - 3)/2)…(x - (n - 1)/2), x(x - na)n - 1 (Abel polynomial), Σk = 0n (-1)k(n - 1)!xn - k/(k!(n - k - 1)!(n - k)!) (ラゲール多項式)
[伊藤稔 二項定理をみたす多項式列, 数学セミナー (3), 2013]
0
タグ: 数学 定理

同じものを含む円順列の個数  定理

1984/11/9 の記事から。(おはロー氏からのご紹介による)

P1, P2, ..., Pm の m 種類の球が, それぞれ n1, n2, ..., nm 個で, 合計 N 個ある。 これら N この球の作る円順列の総数は, φ をEuler function, G を n1, n2, ..., nm の G.C.M. として
(1/N)Σj|G φ(j)(N/j)!/((n1/j)! (n2/j)! … (nm/j)!)
で表される。

証明は上記 link から見て下さい。
6
タグ: 数学 定理

平方再現数  定理

自然数 a が十進数表示で n + 1 桁以上であり, 下 n 桁を除いた部分の平方と, 下 n 桁の部分の平方の和が元の a と一致する時, a を n 位の平方再現数と呼ぶ。

5882353, 94122353, 10000001, 10000000 だけが四位の平方再現数である。
588238294117647058823529411764705882353 は平方再現数である。(5882382941176470588 と 23529411764705882353 に分けられる)

定理: 自然数 p, k が p = k2 + 1 を満たし, 10n を p で割った余りが k である時, 次が成り立つ。
1. 102n + 1 は p で割り切れる。
2. その商が n 位の平方再現数になる。

濱中裕明: 平方再現数, 数学セミナー (11), 2011.
2
タグ: 数学 定理



AutoPage最新お知らせ