Leibniz の公式の応用  定理

f(x) = arcsin(x) とする。
sin(f(x) = x なので, この両辺を x で微分すると
f'(x)√(1 - x2) = 1.
この両辺を再度微分して整理すると (1 - x2)f''(x) - xf'(x) = 0.
これを, Leibniz の公式を用いて更に n 回微分すると, (1 - x2) も x も三階以上の導函数は 0 であることに着目して
(1 - x2)f(n + 2)(x) - (2n + 1)xf(n + 1)(x) - n2f(n)(x)= 0 (n ≧ 0).
ここで x = 0 を代入すると, f(n + 2)(0) = n2f(n)(0).
ここで更に f(0) = 0, f'(0) = 1 を代入すると
f(2m + 1)(0) = ((2m - 1)!!)2, 但し (-1)!! = 1; f(2m)(0) = 0 を得る。
従って, f(x) = arcsin x = Σn = 0 ((2n - 1)!!/(2n)!!)x2n + 1/(2n + 1) を得る。

[橋本喜一郎, 早大大学院理工学術院, Let’s 探検!! 数のジャングル 数論の迷宮 オイラーの探検 (1) パスカルの三角形, 数学セミナー (3), 2010]
1
タグ: 数学 定理



トラックバックURL

トラックバック一覧とは、この記事にリンクしている関連ページの一覧です。あなたの記事をここに掲載したいときは、「記事を投稿してこのページにお知らせする」ボタンを押して記事を投稿するか(AutoPageを持っている方のみ)、記事の投稿のときに上のトラックバックURLを送信して投稿してください。
→トラックバックのより詳しい説明へ

2010/6/6  7:20

 

どうやって説明したらよいですか? 投稿者: 御手洗景子 投稿日: 2010 年 6 月 2 日 (水) 23 時 46 分 19 秒
答えも自信がないので教えてください。 次の関数 f(x) の n 階微分の x = 0 における値 f^(n)(0) = d^n(f(x))/dx^n を求めよ。 どうしてそうなのかも説明せよ。
次 



AutoPage最新お知らせ