交点  Topics

A(a1, a2), B(b1, b2), C(c1, c2), D(d1, d2) とする。
直線 AB, CD が平行でないとすれば, その交点は

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岩井齊良 (あきら), エレンガントな解答を求む, 解答 1, 数学セミナー (1), 2013.
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タグ: 数学

ペンフォードの法則  Topics

n を正の整数とし, k = 1, ..., n について, 1 から n の整数の中から, k 以下の整数が選ばれる確率が log(k + 1)/log(n + 1) となるように整数を一つ選んだ時, 最初の桁が 1 である確率を q(n) とすると
limn→∞ q(n) = log102.

q(n) = Σk = 0[log10n]((log(2・10k) - log 10k)/log(n + 1)
= (([log10n] + 1)log2)/log(n + 1).
この q(n) の増減を調べると, m を正の整数として, n = 10m - 1 の時に極小値 log10 2 をとり, n = 2・10m - 1 の時に極大値
((m + 1) log10 2)/(m + log10 2) → log10 2 (as m→∞)
をとるから得られる。

[岩沢宏和: 続・確率パズルの迷宮 第十回 無限の中から選ぶ, 数学セミナー (1) 2013]
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タグ: 数学

互いに素である確率  Topics

正の整数 n に対して, 1 から n の整数の内から等確率で無作為に (重複を許して) 二つ選んだ整数が互いに祖である確率を p(n) と定義する時,
limn→∞p(n) = 6/π2 (≒ 0.60793).

n 以下の整数からとってくることの出来る n2 個の整数対を考え, その内で, 二数の最大公約数が k であるものの個数を gk(n) とする。 特に g1(n) は, 二数が互いに祖であるものの個数を表すことになる, この時, 任意の正の整数 n, k について,
p(n) = g1(n)/n2,
Σk = 1 gk(n)/n2 = 1.
又, 互いに祖である整数対 (p, q) と最大公約数が k である整数対 (kp, kq) とは一対一で対応するから gk(kn) = g1(n).
ここで p = limn→∞p(n) とすると, 任意の正の整数 k について,
p = limn→∞g1(n)/n2
= limn→∞ gk(kn)/n2
= k2 limm→∞ gk(m)/m2 (ここで m = kn).
従って limn→∞ gk(n)/n2 = p/k2.
従って
1 = limn→∞Σk = 1 gk(n)/n2
= Σk = 1 limn→∞ gk(n)/n2
= Σk = 1 p/k2 = pΣk = 1 1/k2
なので p = 1/Σk = 1 1/k2.
後はζ(2) の値から分かる。

[岩沢宏和: 続・確率パズルの迷宮 第十回 無限の中から選ぶ, 数学セミナー (1) 2013]
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Borel’s Paradox  Topics

Q: 地球の表面 (完全な球面とする) から一点を無作為に (ある領域に入る確率が面積に比例するように) 選ぶ。 その点の経度を調べたら東経 α°(0 < α < 180) であった。 その点の緯度が北緯 30°以上である (条件付) 確率を求めよ。

A1: 点はある (大円の) 半円周上に乗っていて, その点は元々球面状に無作為に選ばれたものであるので, その半円周上のどこに存在するかも一様であるはずであるから, 求める確率は
(90 – 30)/180 = 1/3
である。

A2: 与えられている情報は経度に関するものであり, 緯度に関しては何の情報も得られていないので, 経度に関する情報がない場合と状況は同じであるから, 求める確率は
球面上の北緯 30°以上の領域の面積/球面全体の面積
= ∫π/6π/2 2πcos x dx /(4π) = 1/4.

一寸考えると, 確率が面積比例という選び方から A1 はおかしいので A2 ではないかと思われる。
以下岩沢宏和氏の説明を書く。
緯度を北緯の radian で表し, 球面状に無作為に採った点の緯度を表す確率変数を X とし, 東経の radian で表した緯度を表す確率変数を Y とすると, 求める確率は
P(X ≧ π/6 | Y = απ/180)
である。 そして y =απ/180 とすると
P(X ≧ π/6 | Y = απ/180)
= limε→0 P(X ≧ π/6 | y – ε < Y < y + ε)/P(y – ε < Y < y + ε)
= limε→0π/6π/2 2εcos x dx /(4π・2ε/(2π))
= 1/4.

[岩沢宏和: 続・確率パズルの迷宮 第十回 無限の中から選ぶ, 数学セミナー (1) 2013]
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