相加平均と相乗平均の関係  Topics

Haoxinag Lin の新証明。 January 27, 2012.
A simple proof on the inequality of arithmetic and geometric means

以下各 ai > 0 とする。

x = (a1 + a2 + … + an)/n,
di = ai - x
とする。
明らかに x > 0 で, x + di = ai > 0, Σi=1n di = 0 で,
a1 = a2 = … = an ⇒ d1 = d2 = … = dn = 0
である。
相加平均と相乗平均の関係を証明する為には, 次の定理を証明すれば良い。
定理: x > 0 を実数とする。 d1, d2, ..., dn は実数で di > -x, Σi=1n di = 0 を満たすとする。 この時
x ≧ n√((x + d1)(x + d2) … (x + dn)),
xn ≧ (x + d1)(x + d2) … (x + dn).
何れの不等式でも等号成立は d1 = d2 = … = dn = 0 の時のみ。

証明:
x も x + di も正の実数なので, 上記の二つの不等式は同値である。 従って, 下の方だけを数学的帰納法で証明する。
(1) n = 1 又は 2 の場合は, 簡単に証明出来る。 (現在の数学 II の範囲)
(2) [induction hypothesis] n = k (≧ 2) の時不等式が成立すると仮定する, 即ち
xk ≧ (x + d1)(x + d2) … (x + dk).
(3) [induction step] n = k + 1 としよう。 もしも d1 = d2 = … = dk + 1 = 0 だとすると, 明らかに等号が成立する。
従ってそれ以外の場合を考える。
d1, d2, ..., dk + 1 の少なくとも一つは 0 でないとしよう。 即ち, 少なくとも一つの du > 0 であり, 同時に dv < 0 (n > 2 だから u ≠ v) でなければならない。 そこで必要ならば順番を入れ替えることによって一般性を失わず dk + 1 > 0, dk < 0 であるとして良い。
仮定によって dk > -x であるから (dk + 1 > 0 より dk + dk + 1 > dk なので) dk + dk + 1 > -x.
このことから, x, d1, d2, ..., dk - 1, dk + dk + 1 は定理の前提を満たすので, 帰納法の仮定により
xk ≧ (x + d1)(x + d2) … (x + dk - 1)(x + (dk + dk + 1)).
従って次のようにして証明出来る:
xk + 1
≧ (x + d1)(x + d2) … (x + dk - 1)(x + (dk + dk + 1))x
= (x + d1)(x + d2) … (x + dk - 1)(x2 + (dk + dk + 1)x)
> (x + d1)(x + d2) … (x + dk - 1)(x2 + (dk + dk + 1)x + dkdk + 1) (何故なら dkdk + 1 < 0 だから)
= (x + d1)(x + d2) … (x + dk - 1)(x + dk)(x + dk + 1). ■

等号成立については明らかであろう。
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同じものを含む円順列の個数  定理

1984/11/9 の記事から。(おはロー氏からのご紹介による)

P1, P2, ..., Pm の m 種類の球が, それぞれ n1, n2, ..., nm 個で, 合計 N 個ある。 これら N この球の作る円順列の総数は, φ をEuler function, G を n1, n2, ..., nm の G.C.M. として
(1/N)Σj|G φ(j)(N/j)!/((n1/j)! (n2/j)! … (nm/j)!)
で表される。

証明は上記 link から見て下さい。
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