内接多角形  Topics

正 m 角形に, 正 n 角形が内接する (一辺の一部を共有しても良い) のは次の場合。
(m, n) = (kn, n), n ≧ 3, k ≧ 1.
(m, n) = (hk, 2k), h ≧ 1 の奇数, k ≧ 2, 但し (2, 4) は除く。
(m, n) = (m, 3), ¬(3|m), m ≧ 4.
(m, n) = (m, 4), m ≧ 3 の奇数。
(m, n) = (3, 3).

増田一男: 内接多角形, 数学セミナー (11), 2011.
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平方再現数  定理

自然数 a が十進数表示で n + 1 桁以上であり, 下 n 桁を除いた部分の平方と, 下 n 桁の部分の平方の和が元の a と一致する時, a を n 位の平方再現数と呼ぶ。

5882353, 94122353, 10000001, 10000000 だけが四位の平方再現数である。
588238294117647058823529411764705882353 は平方再現数である。(5882382941176470588 と 23529411764705882353 に分けられる)

定理: 自然数 p, k が p = k2 + 1 を満たし, 10n を p で割った余りが k である時, 次が成り立つ。
1. 102n + 1 は p で割り切れる。
2. その商が n 位の平方再現数になる。

濱中裕明: 平方再現数, 数学セミナー (11), 2011.
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