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ζ(4) = (2/5)ζ(2)2 の積分による証明 (ドイツ語)
実際 ζ(2) = π2/6, ζ(4) =π4/90.

リュービル数 ρ = Σn=1 10-n!.

整数係数の有理式の積分で表される実数を周期数 period と呼ぶ [by M. Kontsevich and D. Zagier]
周期数の超越性予想:
周期数 α1 = ∫Δ1ω1 と α2 = ∫Δ2ω2 が, 実数として等しいならば, 積分の基本性質 (線型性, 変数変換, Stokes の定理) のみを用いて, ∫Δ1ω1 を ∫Δ2ω2 に変形出来るだろう。

実は ζ(k) = ∫0 < x1 < x2 < … < xk < 1 dx1dx2…dxk/((1 - x1)x2…xk).

梅村浩 「古典数について」, 数学, 41 (1989) pp. 1--15 によると, 微分方程式の解の特殊値という観点から 「古典数」 という数の種類が定式化されている。

Cyclic Sieving Phenomenon (CSP, 巡回篩現象):
有限集合 X とそこに巡回作用 A: X → X が与えられていて An = id.
|X| を計算する公式の q-類似 f(q) を考える。
ζn を 1 の原始 n 乗根とする時 |XAk| = f(ζnk) が成り立つ。
[V. Reiner, D. Stanton, D. White, The cyclic sieving pheonomenon. J. Comin. Theory Ser. A 108 (2004)]

CSP が起こっている例:
(重複を許さない) 組み合わせ Y(n, m) = {1 ≦ x1 < x2 < … < xm ≦ n}.
正 n 角形の (対角線を使った, 内部に交点を持たない) 三角形分割。
頂点数 n の連結平面グラフ.
[詳しくは B. Sagan The cyclic sieving phenomenon : a servey. arXiv: 1008.0790]
以上, 数学セミナー (10), 2011.

Malfatti Circles 円に内接する三円のこと。

写像 f:A→B の S⊂A の像を fS = f[S], T⊂B の原像を fT = f-1[T] で表す流儀があるようだ。(括弧の種類に注意)

Pochhammer function (x)n = Γ(x + n)/Γ(x) = x(x + 1)…(x + n - 1)

Toposes, Triples and Theories
by Michael Barr and Charles Wells. (303 pages)
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タグ: 数学



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