二次曲線の接線について  高校数学

以下では f(x, y) = ax + by + c, g(x, y) = dx + ey + f ((a, b, 0)×(d, e, 0) ≠ 0) とする。
公式 1
楕円 f(x, y)2 + g(x, y)2 = k (> 0) へ
点 (s, t) から引いた接線の方程式は
(f(s, t)2 + g(s, t)2 - k)(f(x, y)2 + g(x, y)2 - k)
= (f(s, t)f(x, y) + g(s, t)g(x, y) - k)2.

双曲線 f(x, y)g(x, y) = k (≠ 0) へ点 (s, t) から引いた接線の方程式は
(f(s, t)g(s, t) - k)(f(x, y)g(x, y) - k) = ((f(s, t)g(x, y) + f(x, y)g(s, t))/2 - k)2.

放物線 g(x, y)2 = kf(x, y) (k ≠ 0) へ, 点 (s, t) から引いた接線の方程式は
(g(s, t)2 - kf(s, t))(g(x, y)2 - kf(x, y))
= (g(s, t)g(x, y) - k(f(s, t) + f(x, y))/2)2.

公式 2
二次曲線 ax2 + by2 + cxy + dx + ey + f = 0 へ点 (s, t) から引いた接線の方程式は
(ax2 + by2 + cxy + dx + ey + f)(as2 + bt2 + cst + ds + et + f) = (asx + bty + c(sy + tx)/2 + d(s + x)/2 + e(y + t)/2 + f)2.

[片岡宏信, 兵庫県立福崎高等学校]
[数研通信 No. 69. 数研出版]
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三角函数に関する等式  高校数学

Prop. [仁平政一, 茨城大学非常勤講師, 元茨城県立藤代高等学校]
△ABC は C = ∠R の直角三角形,
tan α = b/a (0 < α < π/2),
p, n は 1 ≦ p ≦ n を満たす任意の実数とする。
この時
a sin(pα/n) + c sin((1 - p/n)α) = b cos(pα/n).

証明:
tan α = b/a は α = B を意味する。
辺 CA 上に ∠CBD = pα/n となるように点 D を採る。
次に BD = x と置くと
△ABD + △DBC = △ABC
なので
(1/2)cx sin((1 - p/n)α) + (1/2)ax sin(pα/n) = ab/2.
一方, 定義から
a/x = cos(pα/n).
x = a/cos(pα/n).
従って, 代入して
ca sin((1 - p/n)α)/cos(pα/n) + a2 tan(pα/n) = ab.
∴a cos(pα/n) + c sin((1 - p/n)α) = b cos(pα/n) QED.

Cor.
2c sin(α/3) + a tan(α/3) = b.

上記の式で p = 1, n = 3 とせよ。
更にこれで α = π/6, π/4, π/3 とすると次の式が得られる。
4sin(π/18) + (√3)tan(π/18) = 1,
2(√2)sin(π/12) + tan(π/12) = 1,
4sin(π/9) + tan(π/9) = √3.
更に α = 5π/6, 5π/4, 5π/3 とすると次の式が得られる。
4sin(5π/18) - (√3)tan(5π/18) = 1,
2(√2)sin(5π/12) - tan(5π/12) = -1,
4sin(5π/9) + tan(5π/9) = -√3.

[数研通信 No. 69. 数研出版]
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アラビアの方法  Topics

平方根の近似値を求める方法で
a + x/(2a + 1) < √(a2 + x) < a + x/(2a)
をアラビアの方法というらしい。

三乗根でやると
a + ax/(3a3 + x) < 3√(a3 + x) < a + x/(3a2)
となるらしい。 左辺は三次収束, 右辺は二次収束だそうである。
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