ベクトルの向き  高校数学

阿原 一志のブログ--ベクトルの向きとは何か(その2) を読んで考えた。

高等学校の数学 B に於いてベクトルの「向き」は無定義の様である。

そこで提案: ベクトル AB とベクトル CD が等しいことの定義。
(一つの直線上での向きは定義されているものとする)
(1) 三点 A, B, C が同一直線上にある場合。 その直線上に点 D もなければベクトル AB とベクトル CD は等しくない。 A = C の場合は B = D の時にベクトル AB とベクトル CD は等しい。 A ≠ C の場合。 直線上で CD の向きを保ったまま, C を A に移す。 この時に B = D となればベクトル AB とベクトル CD は等しい。
(2) 三点 A, B, C が同一直線上にない場合。 A と C を結び, B と D を結ぶ。 この時出来る四角形 ABDC が平行四辺形となる場合のみベクトル AB とベクトル CD は等しい。
ではどうか。
(良く見てみたらここに似たようなことを書いたのであった)

それで, 直線上の向きだが, これはどうするか。
直線から一点を除くと半直線になるが, これを用いて上手く分類していけば, 同一直線上で 「向きが等しい」 と 「逆向き」 が定義出来そうな気がする。
上記で必要なのは, 「CD の向きを保ったまま C を A に移す」 ということだから, 線分 AB と CD の長さが同じ場合」 についてのみ考えれば良い。 (以下半直線は A が起点とする)
(1) C が半直線 AB 上にある場合。 半直線 CD が半直線 AB に含まれている場合のみ AB と CD の向きは等しい。
(2) 逆に A が半直線 CD 上にある場合も立場を逆にすれば良い。
というのではどうだろう。

そうした上で, 丁度符号 sgn(x) が x ≠ 0 ならば x/|x| を意味したように, ベクトル AB の向きを vec(AB)/|AB| で定めれば良いのではないか。
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タグ: 数学 高校



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