三点を通る放物線の方程式  高校数学

方法 1. Lagrange interpolation による。
方法 2. Newton interpolation による。
方法 3. (x0, y0), (x1, y1), (x2, y2) を通る二次函数は
Det[
(y, x2, x, 1),
(y0, x02, x0, 1),
(y1, x12, x1, 1),
(y2, x22, x2, 1)] = 0.

方法 1, 2, 3 共, y = (n 次式) で表される函数に拡張出来る。
方法 3 は本質的に Cramer の公式と同じ。
方法 1, 2 はここにも出ている。

応用 [三点を通る円の方程式]
(x0, y0), (x1, y1), (x2, y2) を通る円の方程式は
Det[
(x2 + y2, x, y, 1),
(x02 + y02, x0, y0, 1),
(x12 + y12, x1, y1, 1),
(x22 + y22, x2, y2, 1)] = 0.
[納城孝史, 大阪府立港南造形高等学校, 数研通信 No. 68.]
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二次曲線の接線  高校数学

(1) 二次曲線 ax2 + by2 + cxy + dx + ey + f = 0 上の点 (p, q) に於ける接線の方程式は
apx + bpy + c(py + qx)/2 + d(x + p)/2 + e(y + q)/2 + f = 0.

以下では f(x, y) = ax + by + c, g(x, y) = dx + ey + f とする。
(2) 楕円 f(x, y)2 + g(x, y)2 = k (k > 0) の接点 (p, q) に於ける接線の方程式は
f(p, q)f(x, y) + g(p, q)g(x, y) = k.
(3) 双曲線 f(x, y)g(x, y) = k (k ≠ 0) の接点 (p, q) に於ける接線の方程式は
(f(p, q)g(x, y) + f(x, y)g(p, q))/2 = k.
(4) 放物線 k・f(x, y) = g(x, y)2 (k ≠ 0) の接点 (p, q) に於ける接線の方程式は
k(f(x, y) + f(p, q))/2 = g(p, q)g(x, y).

[片岡宏信, 兵庫県立福崎高等学校, 数研通信 No. 68.]
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重複円順列・重複数珠順列  定理

重複円順列・重複数珠順列の式はやはり一部はおかしいという指摘がおはロー氏からあってそこで紹介された結果を別の所に記したので, そちらを読んで欲しい。
一応こちらも, 記録の為に残しておく。



[重複円順列]
n 種類の中から重複を許して r 個選び円形に並べる並べ方の総数は
(1/r)Σk = 1r n(r, k).
記号 (r, k) = gcd(r, k) である。

[同じものを含む円順列]
玉 Pk が nk 個 (k = 1, 2, 3, ..., m) あるとして n = Σk = 1m nm とする。 これらを円形に並べる並べ方の総数は
(1/n)Σ (n, k)!/Πi=1m((ni(n, k)/n)!)
となる。 但し, 和は k = 1 から n 迄で, 分母の各 ni(n, k)/n が整数になる場合に亙る。

[重複数珠順列]
n 種類の中から重複を許して r 個で数珠を作る時, その総数は次のようになる。
(1) r が奇数: (1/(2r))(Σk = 1r n(r, k) + r・n(r + 1)/2).
(2) r が偶数: (1/(2r))(Σk = 1r n(r, k) + (r/2)(nr/2 + 1 + nr/2)).

[同じものを含む数珠順列]
玉 Pk が nk 個 (k = 1, 2, 3, ..., m) あるとして n = Σk = 1m nm とする。 これらで数珠を作る時, その総数は以下のようになる。 但し, すべての場合で最初の和は分母の各 ni(n, k)/n が整数になる場合に限る。
nk がすべて偶数:
(1/(2n))(Σk = 1n (n, k)!/Πi=1m((ni(n, k)/n)!) + (n/2)Σi = 1m ((n - 2)/2)!/((n1/2)! (n2/2)! … ((ni - 2)/2)! … (nm/2)!) + (n/2)・(n/2)!/((n1/2)! (n2/2)! … (nm/2)!)).
n1 のみが奇数で, 他の nk はすべて偶数:
(1/(2n))(Σk = 1n (n, k)!/Πi=1m((ni(n, k)/n)!) + n((n - 1)/2)!/(((n1 - 1)/2)! (n2/2)! … (nm/2)!)).
n1, ..., nt が奇数で, nt+1, ..., nm が偶数 (2 ≦ t ≦ m):
(1/(2n))(Σk = 1n (n, k)!/Πi=1m((ni(n, k)/n)!) + n ((n - t)/2)!/(((n1 - 1)/2)! ((n2 - 1)/2)! … ((nt - 1)/2)! ・ (nt+1/2)!) … (nm/2)!)).

[山田一男, 愛知県立五条高等学校, 数研通信 No. 68.]

但し, どうも (3) はそこに載っている式がおかしいので, 多分こうだろうと思う式に修正した。 もしかしたら自分の勘違いかもしれない。
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