Plus Perfect Number  Topics

Armstrong number, ナルシスト数との別名もある。
01 = 0,
11 = 1,
13 + 53 + 33 = 153,
33 + 73 + 03 = 370,
33 + 73 + 13 = 371,
43 + 03 + 73 = 407,
14 + 64 + 34 + 44 = 1634,
84 + 24 + 04 + 84 = 8208,
94 + 44 + 74 + 44 = 9474,
等。
五桁では 54748, 92727, 93084.
六桁では 568834.
七桁では 174125, 4210818, 9800817, 9926315
と全部で 89 個あり, 最大のものは 39 桁のもので
115132219018763992565095597973971522401.
何進法でやっても有限個しか存在しない。

しかし次の事実がある。
13 + 53 + 33 = 153,
163 + 503 + 333 = 165033,
1663 + 5003 + 3333 = 166500333,
16663 + 50003 + 33333 = 166650003333,
(以下無限に続く)

[知念宏司, 近畿大学理工学部, エレガントな解答をもとむ, 解答, 数学セミナー (8), 2010]
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タグ: 数学

不等式  定理

定理[ 大塚秀幸 (36), 上尾市]
x > 0, y > 0, x + y = 1 の時
xxyy + xyyx ≦ 1.

証明
0 < t < 1, a > 0, b > 0 とすると, Bernoulli の不等式により
(1 + (a/b - 1)t)1/t ≧ a/b
となる。 従って
1 + (a/b - 1)t ≧ (a/b)t,
b + (a - b)t ≧ (a/b)tb.
at + (1 - t)b ≧ atb1 - t.
ここで a = t = x, b = 1 – t = y を代入すると
x2 + y2 ≧ xxyy … (a).
一方 a = 1 - t = x, b = t = y を代入すると
2xy ≧ xyyx … (b).
(a) と (b) を辺々加えると
xxyy + xyyx ≦ x2 + y2 + 2xy = (x + y)2 = 1□

[Note, 数学セミナー (8), 2010]
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タグ: 数学 定理

ζ(2)  高校数学

近畿大学 数学コンテスト第十回 問題 B-6

(1) 正の整数 n に対し,
Σk=1ncot2(πk/(2n + 1))
を求めよ。
ただし, ここで cot θ = 1/tan θ である.
(2) 正の整数 n に対し,
Σk=1ncot4(πk/(2n + 1))
を求めよ。

略解:
De Moivre の定理により, 自然数 m に対して
cos mθ + i sin mθ = (cos θ + i sin θ)m
= sinmθ(cotθ + i)m
= sinmθΣk=0mmCkikcotm-kθ.
虚数部分のみを採ると
sin mθ = sinmθΣk=0[(m-1)/2]mC2k+1(-1)kcotm-2k-1θ
ここで, [x] は所謂ガウス記号 (x を超えない最大の整数)。 ここで m = 2n + 1 と置くと
sin(2n + 1)θ = sin2n+1θ・f(cot2θ) … (a)
と書ける。 ここに 0 < θ < π/2 の時, f(x) は n 次多項式で
f(x) = Σk=0n2n+1C2k+1(-1)kxn-k
である。 この時 0 <θ < π/2 に於いては sinθ ≠ 0 なので (a) により
f(cot2θ) = 0 ⇔ sin(2n + 1)θ = 0 ⇔ (2n + 1)θ = kπ (k = 1, 2, ..., n).
従って f(x) = 0 となるのは, αk = cot2(πk/(2n + 1)) (k = 1, 2, ..., n) のみである。 よって f(x) = (2n + 1)(x - α1)…(x - αn) と因数分解できることになって,
Σk=1ncot2(πk/(2n + 1))
k=1nαk
= (1/(2n+1))・2n+1C3 = n(2n - 1)/3.

さて, 0 < x < π/2 の時 0 < sin x < x < tan x である。 辺々自乗して逆数を採ると
cot2x < 1/x2 < 1 + cot2x.
この不等式に x = πk/(2n + 1) を代入し, R = x2/k2 = π2/(2n + 1) 2 を掛けると
R cot2(πk/(2n + 1)) < 1/k2 < R(1 + cot2(πk/(2n + 1)))
となるが, これを k = 1 から n 迄の和を採り, 上記の結果を用いて n→∞ の極限を採ると
ζ(2) = Σk = 1 1/k2 = π2/6
を得る。

(2) の答は n(2n - 1)(4n2 + 10n - 9)/45 であり, これを用いて
ζ(4) = Σk = 1 1/k44/90
が得られる。

[解答部分は 大野泰生, 佐久間一浩, 近畿大学 『数学コンテスト』 12 年の歩みを振り返って, 数学セミナー (8), 2010]
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タグ: 数学 高校

Ehrhart polynomial  定理

平面上ですべての頂点が格子点である様な凸多角形を n 倍に膨らませた多角形内の格子点の数は必ず
an2 + bn + 1
という形をしており, a は元の多角形の面積と一致する。
この多項式をエルハート多項式という。
同様に, すべての頂点が格子点であるような d 次元の凸多面体を n 倍に膨らませた多面体内の格子点の数は
and + bnd - 1 + … + cn + 1
という形をしており, a は元の多面体の体積と一致する。

[大杉英史, 立教大学理学部
立教大学 open campus 組合せ論入門, 多面体にまつわる数え上げ, 数学セミナー (8), 2010]
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タグ: 数学 定理

KSEG  ソフト紹介

面白い。
公式 page.
最初に点を打つのが右クリックだというのが度肝を抜くが。
こちらの page を参照のこと。
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タグ: 数学 リンク

立方体 (正六面体)  定理

立方体の六面を m 色で塗り分ける時のすべてのパターンの数は
(m6 + 3m4 + 12m3 + 8m2)/24
であり, 各頂点を m 職で塗り分ける時のすべてのパターンの数は
(m8 + 17m4 + 6m2)/24.

[大杉英史, 立教大学理学部
立教大学 open campus 組合せ論入門, 多面体にまつわる数え上げ, 数学セミナー (8), 2010]
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タグ: 数学 定理

数学と科学  引用

Math and science are everywhere.

Phil Mickelson
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タグ: 数学

失敗について  引用

ジムでコケるのは全然恥ずかしいことじゃない。 力が無くてヒーヒー言っているのも恥ずかしいことじゃない。 恥ずかしいのは, ジムに来てウエイト・マシンに座っておしゃべりしたり, ぼけーっと突っ立って真剣にやってる人達の邪魔をしてる人達!

DOTMOTHER
DOTFAMILY の平和な日々
れっつ・わーくあうと: 番外編 5: 悪事千里を走る DOTFAMILY の反応
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タグ: 数学



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