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What’s new (blog of Terrence Tao) (正に数学の what’s new を扱っている)
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Euler transformation  定理

定義
無限数列 {an}n=0 の n 階差分 (第 n 次階差数列) Δn{an} の初項
Δna0 = Σi = 0n(-1)inCiai
の 1/2n+1 倍を第 n 項とする無限数列
E({an}) =Σn = 0Δna0/2n+1
を無限級数 S({an}) =Σn = 0 (-1)nan
Euler 変換という。

[定理]
S({an}) が収束すれば, E({an}) も同じ和に収束する。

[橋本喜一郎, 早大大学院理工学術院, Let’s 探検!! 数のジャングル 数論の迷宮 オイラーの探検 (1) パスカルの三角形, 数学セミナー (3), 2010]
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Leibniz の公式の応用  定理

f(x) = arcsin(x) とする。
sin(f(x) = x なので, この両辺を x で微分すると
f'(x)√(1 - x2) = 1.
この両辺を再度微分して整理すると (1 - x2)f''(x) - xf'(x) = 0.
これを, Leibniz の公式を用いて更に n 回微分すると, (1 - x2) も x も三階以上の導函数は 0 であることに着目して
(1 - x2)f(n + 2)(x) - (2n + 1)xf(n + 1)(x) - n2f(n)(x)= 0 (n ≧ 0).
ここで x = 0 を代入すると, f(n + 2)(0) = n2f(n)(0).
ここで更に f(0) = 0, f'(0) = 1 を代入すると
f(2m + 1)(0) = ((2m - 1)!!)2, 但し (-1)!! = 1; f(2m)(0) = 0 を得る。
従って, f(x) = arcsin x = Σn = 0 ((2n - 1)!!/(2n)!!)x2n + 1/(2n + 1) を得る。

[橋本喜一郎, 早大大学院理工学術院, Let’s 探検!! 数のジャングル 数論の迷宮 オイラーの探検 (1) パスカルの三角形, 数学セミナー (3), 2010]
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無限級数の評価  定理

定理 [大塚秀幸 (36), 上尾市]
[ ] を所謂 Gauss 記号とする。 自然数 n に対し
(1) [1/Σk = n 1/k2] = n - 1.
(2) [1/Σk = n 1/k3] = 2n(n - 1).
[数学セミナー (3), 2010]
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不等式  定理

定理 [泉田保 (44), 新潟]

(1) a > 0, b > 0 に対し √(ab) ≦ ((√2)/4)(a + b)2/√(a2 + b2) ≦ (a + b)/2.

(2) 同様に 2/(1/a + 1/b) ≦ (1/√2)(a + b)(√(ab))/√(a2 + b2) ≦ √(ab).

共に等号成立は a = b のみ。

[数学セミナー (3), 2010]
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三つのリンク  Link

Fermat’s Last Theorem
連続帰納法
足立恒雄の HP
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