ピタゴラス数  Topics

ペル数 Bn は次のようにして定義される。
B0 = 1, B1 = 2,
Bk = 2Bk - 1 + Bk - 2.
これを用いると, 斜辺以外の二辺の長さの差が 1 であるようなピタゴラス三角形 (三辺の長さが全て整数である三角形), これを consecutive legs を持つピタゴラス三角形と呼ぶが, は次のように表される。
ak = (Bk + Bk - 1)(Bk - 1 + Bk - 2),
bk = 2BkBk - 1,
ck = B2k = Bk2 + Bk - 12.
また, この consecutive legs を持つピタゴラス三角形の三辺の長さを用いると
(ak + bk)/ck → √2 (as k→∞)
が知られている。

ピタゴラス三角形で, c (斜辺) = 2b ± 1 という条件を付けると
ak = 4ak - 1 - ak - 2,
fk = 3fk - 1 + 3fk - 2 - fk - 3 (fk = bk or ck),
となり, (bk + ck)/ak → √3 (as k→∞)
となることも知られている。 [H. Hosoya, Natl. Sci. Rept. Ochanomizu Univ., 59 (1) (2008) 19.]

その他にもこことかこことかにも色々な性質が出ている。

ここも参照: Hosoya’s Triangle
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タグ: 数学

幾何学  定理

定理
n ≧ 5 を満たすどの整数 n に対しても, 円に内接する n 角形の面積を, 四則演算と k 乗根を採る操作を通して辺の長さで表現する一般の公式は存在しない。
言い換えれば, ヘロンの公式, ブラーマグプタの公式を, 円に内接する n 角形の公式として拡張することは出来ない。
[Y. Matsumoto, Y. Matsutani, M. Oda, T. Sakai and T. Shibuya: On the area of a polygon inscribed in a circle, L’Enseignement Mathématique (2) 53 (2007), 127--153]
[Non-Biri 数学研究会 「ヘロンとガロワ」 数学セミナー (11), 2009]
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必要条件  数学用語・数学記号

所謂 「必要条件」 necessary condition は齊藤正彦も 「必条件」 とすべきだという意見である。 [日本語から記号論理へ 第八回, 挿入 B 数学の日本語または数学方言, 数学セミナー (11), 2009]

この際だから, 「必然条件」 という言葉を一般化したらどうであろうか。
(高校の) 教科書辺りから併記するようにすれば段々普及していくと思われ。
でも文部科学省が英断しないと出来ないことではあるが。
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タグ: 数学 notations

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殆ど全ての  数学用語・数学記号

Almost all p というのを記号 ∀∀p と書いている人がいて驚いた。
橋本喜一朗 Let’s 探検!! 数のジャングル 数論の迷宮 第四回 整数の極限 = End の構造, 数学セミナー (10), 2009.
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タグ: 数学 notations

Link 色々  Link

Topology 関係
てるあき (Dehn twists を実体験するプログラム)
T4M6

ζ 函数関係
Andrew Odlyzko: Tables of zeros of the Riemann zeta function
Alexander Grothendieck の著作物

Cauchy-Schwarz-Bunyakovsky 型の不等式 (pdf)
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紙の三等分  高校数学

これも高校数学というよりは中学の数学。

今日は調査書の封筒入れをした。
その際に紙を三等分する必要に迫られた。
三等分は次のようにして出来る。
長方形 ABCD の点 A が左下, B が右下としよう。
辺 AB の中点を M, CD の中点を N としよう (つまり AD と BC を重ねるように折る)。
長方形 MBCN の対角線 BN と長方形 ABCD の対角線 AC の交点 P を求める。
点 P を通り, 辺 BC に平行に線を引くと, これが AB (従って CD) 方向を三等分する直線になる。
何故かというと, △PNC と △PBA が相似で, 相似比が 1:2 だから。
こんなところでも数学は役に立つ。
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おむつたたみの数学  高校数学

「高校」 というよりも中学辺りの数学であるような気がする。

うちの子は布おむつをしている。
紙おむつしか知らない人には分からないであろうが, 布おむつというのは, たたんで厚みをつけて使うものである。
たたむのが四等分とかならいいのだが, うちは五等分でないと丁度いい幅にならない。
それで毎回五等分にするのに苦労していた。

どこかに平行線でもあればいいのだがなあ
と思って, 良く考えてみると, 今の家屋というものは沢山平行線が引かれているのが通常であるということに気付いた。
それはフローリングの床である。
大体等幅の板が敷き詰めてある。
それを利用しようというのである。

五本の板を数えて, そこに布の長い方の一辺をぴんと張って当てる。
これで五等分出来ている。
おかげで今日のおむつたたみは快調に進んだ。

意外なところで数学が役に立った。
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