ラマヌジャンの公式 定理
f(z) = z/((e^(2πz) - 1)(1 - e^(-2πiz)))
O = 0, A = N + 1/2, B = Ai, C = A(1 + i) とし,
積分路 c: O→A→C→B→O, (但し, 極は半径 ε < 1/2 の半円又は四分円で内側から回り込む) を取る。
この積分から留数定理を経て
Σn=1∞ 1/(e^(2nπ) - 1) = 1/24 - 1/(8π)
を得る。
[吉田知行 エレガントな証明 vs. 良い証明, 数学セミナー (4), 2014]
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O = 0, A = N + 1/2, B = Ai, C = A(1 + i) とし,
積分路 c: O→A→C→B→O, (但し, 極は半径 ε < 1/2 の半円又は四分円で内側から回り込む) を取る。
この積分から留数定理を経て
Σn=1∞ 1/(e^(2nπ) - 1) = 1/24 - 1/(8π)
を得る。
[吉田知行 エレガントな証明 vs. 良い証明, 数学セミナー (4), 2014]
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