平面の円弧を曲げて立体化した円弧を作った時、立体化した円弧と平面に立てた垂線の成す角度が今回の問題です。数学的思考に慣れた方以外には面倒な文章ですので、3/16の結論だけを読んでいただいても結構です。

最初に折る前の状態の中心の線までの半径をRb1、Rb2、中心角をαbとします。
円弧を立体化した後の中心の線までの半径をRa1、Ra2、中心角をαaとします。
立体化した円弧の平面に立てた垂線に対する角度x°を求めるためには、yの値が必要です。

円弧の長さについて、曲げる前後でこの長さは変わりませんから
円弧の長さ=2×円周率×半径×(中心角/360度)
=2πRb1(αb/360度)
=2πRa1(αa/360度)
よってRa1=(2πRb1(αb/360度))/(2πRa1(αa/360度))
= Rb・αb/αa
同様にしてy=Ra2-Ra1
=Rb2・αb/αa−Rb1・αb/αa
=(Rb2−Rb1)αb/αa
折り曲げた円弧の端より平面に垂線を下ろし円弧のテープの幅を長辺とする直角三角形を作ると、
sinx°=(Rb2−Rb1)/(Ra2−Ra1)
=(Rb2−Rb1)/(Rb2−Rb1)αb/αa
=αb/αa が成立する。
具体例を上げれば最初の平面の円弧の中心角が180度、
立体化後の中心角が90度であれば
sinx°=90°/180°=1/2
x°=30°と判明する。
○直角三角形では長辺ともう一辺の成す角度X°が判明すればsinx°、cosx°、
tan]が判明する。逆にsinXが分かればX°を知ることが可能である。
この記号がasin(アークサイン)である。むずかしそうだが実は簡単
表計算ソフトのエクセルを使うと
X°=asin(αb/αa)・180°/π
=asin(αb/αa)・180°/3.1415926535
で簡単に計算されます。
(asin(αb/αa)でも出ますがこの場合は弧度法(ラジアン法)が単位となります。
弧度法が分からない人はこの文章は無視してかまいません)
PS ネット上を調べ回ってやっとこasin、acosの概念にたどりつきました。ああしんどかった(少しは楽しかったですけど。読んだ人は私の倍もしんどかったかな)。

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