切り折り紙マニア日記

　平面の円弧を曲げて立体化した円弧を作った時、半径と中心角はどのように変化するか見てみましょう。
　まずは立体化するときに折り線となる中心の線について注目してみましょう。
　　
　最初に折る前の状態の中心の線までの半径をRb、中心角をαbとします。
　円弧を立体化した後の中心の線までの半径をRa、中心角をαaとします。
　さらにこの中心線の長さをLとします。

　円弧の長さ=2×円周率×半径×（中心角/360度）であり、左右の円弧の中心の線の長さは同じですから、
　　L=2πRb(αb/360度)＝2πRa(αa/360度)
　　Rb・αb＝Ra・αa
　よって
　　Ra/Rb=αb/αa
　　　　=1/(αb/αa)
　　
　ところで
　　Ra/Rb＝折った後の円弧の半径/折る前の円弧の半径
　　　であり、折った後は必ず円弧の半径は小さくなりますから
　　日常語に近い形に翻訳すると
　　　　Ra/Rbとは「折った後の半径の縮小率」ということになります。　　　　　　　
　　またαa/αb＝折った後の円弧の中心角/折る前の円弧の中心角
　　　であり、折った後は必ず中心角が大きくなりますから
　日常語に近い形に翻訳すると
　　　　αa/αbとは「折った後の中心角の増大率率」ということになります。　　　

　よって折る前後の円弧の半径、中心角について次の関係が成り立ちます。
　　折る前後の半径の縮小率は折る前後の中心角の増大率に反比例する。
　
　これを理解して自分のものにするとより完璧な設計図の作成が可能です。

PS　このブログを書いていなければこんな面倒な解析なんてしませんでした。で解析してみたらあまりに簡単な結果に唖然としました。数学なんてやらなくとも修練と勘があれば大丈夫、いえいえ修練を積んで勘を身につけたあなたが数学を使いこなせばその成果は莫大です。頑張ってマスターしてね。

　この問題にこたえるには多少の応用力、数学的な空間と、現実の空間とを結びつける力が必要です。数学が苦手な人のためにこんな考え方はどうでしょう。上の図の中心の半円の弧（黄色い線)をひもだと考えます。
　このひも(黄色い線)は曲げて作った下の図形では完全な円になります。このひも(黄色い線)の長さは上の半円でも下の円でも同じです。
　ひも(黄色い線)の長さをLとすると
　　上の図形では
　　　L=２×円周率×半径×(中心角/360°）
　　　　=２×π×Rb2×(180°/360°)
　　　　=πRb2
　　下の黄色い線の長さLについて
　　　L=２×円周率×半径
　　　=２πRa2、
　よってL=πRb2=２πRa2
　ゆえに　　Rb2＝2Ra2
　同様にしてRb1=2Rb1、Rb3=Ra3 が成り立つ

（結論）Rb1=2Ra1、Rb2＝2Ra2、Rb3=Ra3
　
ｐｓ　ものすごい単純な結論でしょう。このブログ用に解析してみてあまりの単純な結論に驚きました。さて次はこれの応用編です。

　幾何学的に切り折り紙を扱うとどんなことが可能になるかの例題です。
　問題のレベルとしては中三クラスの数学知識があれば解けます。　

　同心円(円の中心が同じ)を三つ描き、それそれの同心円の半径を内側からRb1,Rb2,Rb3とする。　（Rbのbはbeforeの略です）
　この同心円から中心角を180度とする円弧を切り抜き、真ん中の同心円の部分で二つに折り、これを変形し立体的な円弧としたうえ、完全に丸め輪を作る。このときの変形後の円弧の半径を内側からそれぞれRa1,Ra2,Ra3とする。（Raのaはafterの略）
　このとき、Rb1,Rb2,Rb3とRa1,Ra2,Ra3の間に成り立つ関係について示せ。
　
ヒント　解いてしまうとあまりの単純な答えに馬鹿にされた気分になります。
　

　初歩的な幾何学で扱えるものは限られています。幾何学で扱うためには限定可能であることがまず必要です。

　図を見れば一目瞭然ですが、
　二点を通る直線は一本のみです。ですから幾何学的に取り扱いが可能です。
　二点を通る曲線は無数にあります。ですから単なる曲線は幾何学的に扱うことはできません。

　曲線の中でも円の一部である円弧は特別です。それでも二点を通る円弧は無数に存在します。円弧を決定するには3点が必要です。
　楕円ならどうでしょう？？？　むずかしくなるばかりで切り折り紙には(いまのところ）関係しないので省略します。

　これが立体空間となると、初歩的な幾何学で取り扱えるのは3つだけです。
　まず平面二つ、紙を折って作った場合折り線が一本しかない場合です。
　それから円錐面、それと円柱面です。
　接線局面は高等な数学では取り扱い可能でしょうが、切り折り紙には(今のところ)関係ないので省略です。
　
　こんなことは基本中の基本、当たり前のことなんですが実はこういうことほど習ってないんです。幾何学の中身は教えることができるが、幾何学の外側は各人が実践を通して学ぶしか道がない。
　　
ps　言ってることが間違ってると思ったら教えてくださいね。
ps　二か月、本ブログお休みしてました。またぼちぼち書き出します。