数学的日常

以下の小文は, 高校での学年通信向けに書いたものである。

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MoCo7 の日記 「平方根の計算アルゴリズム」

√n を求める algorithm (n: 自然数).
(a_m, b_m) を以下のように定める。
a₀ = 5n, b₀ = 5.

A) a_m ≧ b_m
a_{m + 1} = a_m - b_m,
b_{m + 1} = b_m + 10.

B) a_m < b_m
a_{m + 1} = 100a_m,
b_{m + 1} = [b_m/10]*100 + (b_m mod 10).
(そして, これはカウントしなかったことにして, 番号を一つ下げる)
但し, [ ] は小数点以下切り捨て, mod k は k で割った余り。

操作 B の間にある操作 A の数を数えて, c₀, c₁, ... とする。
この時 √n = Σ_k=0^∞ c_k/10^k.

(ここに記載するにあたり若干表現を改めた)

Haoxinag Lin の新証明。 January 27, 2012.
A simple proof on the inequality of arithmetic and geometric means

以下各 a_i > 0 とする。

x = (a₁ + a₂ + … + a_n)/n,
d_i = a_i - x
とする。
明らかに x > 0 で, x + d_i = a_i > 0, Σ_i=1ⁿ d_i = 0 で,
a₁ = a₂ = … = a_n ⇒ d₁ = d₂ = … = d_n = 0
である。
相加平均と相乗平均の関係を証明する為には, 次の定理を証明すれば良い。
定理: x > 0 を実数とする。 d₁, d₂, ..., d_n は実数で d_i > -x, Σ_i=1ⁿ d_i = 0 を満たすとする。 この時
x ≧ ⁿ√((x + d₁)(x + d₂) … (x + d_n)),
xⁿ ≧ (x + d₁)(x + d₂) … (x + d_n).
何れの不等式でも等号成立は d₁ = d₂ = … = d_n = 0 の時のみ。

証明:
x も x + d_i も正の実数なので, 上記の二つの不等式は同値である。 従って, 下の方だけを数学的帰納法で証明する。
(1) n = 1 又は 2 の場合は, 簡単に証明出来る。 (現在の数学 II の範囲)
(2) [induction hypothesis] n = k (≧ 2) の時不等式が成立すると仮定する, 即ち
x^k ≧ (x + d₁)(x + d₂) … (x + d_k).
(3) [induction step] n = k + 1 としよう。 もしも d₁ = d₂ = … = d_{k + 1} = 0 だとすると, 明らかに等号が成立する。
従ってそれ以外の場合を考える。
d₁, d₂, ..., d_{k + 1} の少なくとも一つは 0 でないとしよう。 即ち, 少なくとも一つの d_u > 0 であり, 同時に d_v < 0 (n > 2 だから u ≠ v) でなければならない。 そこで必要ならば順番を入れ替えることによって一般性を失わず d_{k + 1} > 0, d_k < 0 であるとして良い。
仮定によって d_k > -x であるから (d_{k + 1} > 0 より d_k + d_{k + 1} > d_k なので) d_k + d_{k + 1} > -x.
このことから, x, d₁, d₂, ..., d_{k - 1}, d_k + d_{k + 1} は定理の前提を満たすので, 帰納法の仮定により
x^k ≧ (x + d₁)(x + d₂) … (x + d_{k - 1})(x + (d_k + d_{k + 1})).
従って次のようにして証明出来る:
x^{k + 1}
≧ (x + d₁)(x + d₂) … (x + d_{k - 1})(x + (d_k + d_{k + 1}))x
= (x + d₁)(x + d₂) … (x + d_{k - 1})(x² + (d_k + d_{k + 1})x)
> (x + d₁)(x + d₂) … (x + d_{k - 1})(x² + (d_k + d_{k + 1})x + d_kd_{k + 1}) (何故なら d_kd_{k + 1} < 0 だから)
= (x + d₁)(x + d₂) … (x + d_{k - 1})(x + d_k)(x + d_{k + 1}). ■

等号成立については明らかであろう。

1984/11/9 の記事から。(おはロー氏からのご紹介による)

P₁, P₂, ..., P_m の m 種類の球が, それぞれ n₁, n₂, ..., n_m 個で, 合計 N 個ある。 これら N この球の作る円順列の総数は, φ をEuler function, G を n₁, n₂, ..., n_m の G.C.M. として
(1/N)Σ_j|G φ(j)(N/j)!/((n₁/j)! (n₂/j)! … (n_m/j)!)
で表される。

証明は上記 link から見て下さい。

正 m 角形に, 正 n 角形が内接する (一辺の一部を共有しても良い) のは次の場合。
(m, n) = (kn, n), n ≧ 3, k ≧ 1.
(m, n) = (hk, 2k), h ≧ 1 の奇数, k ≧ 2, 但し (2, 4) は除く。
(m, n) = (m, 3), ¬(3|m), m ≧ 4.
(m, n) = (m, 4), m ≧ 3 の奇数。
(m, n) = (3, 3).

増田一男: 内接多角形, 数学セミナー (11), 2011.

自然数 a が十進数表示で n + 1 桁以上であり, 下 n 桁を除いた部分の平方と, 下 n 桁の部分の平方の和が元の a と一致する時, a を n 位の平方再現数と呼ぶ。

5882353, 94122353, 10000001, 10000000 だけが四位の平方再現数である。
588238294117647058823529411764705882353 は平方再現数である。(5882382941176470588 と 23529411764705882353 に分けられる)

定理: 自然数 p, k が p = k² + 1 を満たし, 10ⁿ を p で割った余りが k である時, 次が成り立つ。
1. 10²ⁿ + 1 は p で割り切れる。
2. その商が n 位の平方再現数になる。

濱中裕明: 平方再現数, 数学セミナー (11), 2011.

次の一連のことが行われることが被験者 (眠り姫) には分かっているものとする。
1. 被験者は日曜日に薬で眠らされる。
2. 被験者が眠っている間に, 歪みのないコインが一回だけ投げられる。
3. コインが表の場合, 被験者は月曜日に一回起こされて質問を受け, それで終了である。
4. コインが裏の場合, 被験者は月曜日に一回起こされて直ぐに質問を受け, その後, 薬により再び眠らされ, 火曜日に再び一回起こされて直ぐに質問を受け, それで終了である。
5. 被験者が飲まされる薬は, 強制的に起こされるまでは決して目を覚ますことが出来なくなる作用と共に, 被験者が過去に強制的に起こされた際の一切の記憶 (起こされたこと自体の記憶も含む) を消し去ってしまう作用があるので, 月曜日に起こされた場合も火曜日に起こされた場合にもその時の意識の状態に違いは全くない。
6. 又, 起こされて質問を受ける場所には, その日が何曜日かについて知ることが出来るようなものは一切置かれていない。
7. 起こされた時に受ける質問は 「コインが表であった確率は幾らか」 というものである。
以上の設定の下で, 被験者は質問を受けた時, 答は幾らとするのが正解か。

ζ(4) = (2/5)ζ(2)² の積分による証明 (ドイツ語)
実際 ζ(2) = π²/6, ζ(4) =π⁴/90.

リュービル数 ρ = Σ_n=1^∞ 10^-n!.

整数係数の有理式の積分で表される実数を周期数 period と呼ぶ [by M. Kontsevich and D. Zagier]
周期数の超越性予想:
周期数 α₁ = ∫_Δ1ω₁ と α₂ = ∫_Δ2ω₂ が, 実数として等しいならば, 積分の基本性質 (線型性, 変数変換, Stokes の定理) のみを用いて, ∫_Δ1ω₁ を ∫_Δ2ω₂ に変形出来るだろう。

実は ζ(k) = ∫_{0 < x1 < x2 < … < xk < 1} dx₁dx₂…dx_k/((1 - x₁)x₂…x_k).

梅村浩 「古典数について」, 数学, 41 (1989) pp. 1--15 によると, 微分方程式の解の特殊値という観点から 「古典数」 という数の種類が定式化されている。

Cyclic Sieving Phenomenon (CSP, 巡回篩現象):
有限集合 X とそこに巡回作用 A: X → X が与えられていて Aⁿ = id.
|X| を計算する公式の q-類似 f(q) を考える。
ζ_n を 1 の原始 n 乗根とする時 |X^Ak| = f(ζ_n^k) が成り立つ。
[V. Reiner, D. Stanton, D. White, The cyclic sieving pheonomenon. J. Comin. Theory Ser. A 108 (2004)]

CSP が起こっている例:
(重複を許さない) 組み合わせ Y(n, m) = {1 ≦ x₁ < x₂ < … < x_m ≦ n}.
正 n 角形の (対角線を使った, 内部に交点を持たない) 三角形分割。
頂点数 n の連結平面グラフ.
[詳しくは B. Sagan The cyclic sieving phenomenon : a servey. arXiv: 1008.0790]
以上, 数学セミナー (10), 2011.

Malfatti Circles 円に内接する三円のこと。

写像 f:A→B の S⊂A の像を f^→S = f[S], T⊂B の原像を f^←T = f^-1[T] で表す流儀があるようだ。(括弧の種類に注意)

Pochhammer function (x)_n = Γ(x + n)/Γ(x) = x(x + 1)…(x + n - 1)

Toposes, Triples and Theories
by Michael Barr and Charles Wells. (303 pages)