切り折り紙マニア日記

　竜の瞳に使った技法、紙を二層に分けて表側の層で目の上の隆起を、内側の層で黒眼を作る。単純な方法だが、まさに画竜点睛＊の効果が得られる。
　　　＊がりょうてんせいと読みます。睛の字は目編で瞳の意、晴れの字と間違えないように。

　この目の作り方。下方に円弧を切るのはいつもと同じ、それを二重円弧にすると従来の�@の目蓋返し。
　折り返したまぶたに瞳の切り込みを入れて二層にはがすと黒眼が入る（�Aの例）。
　折り返したまぶたを二層に分けて内側の層を加工しても黒眼が入る(�Bの例）。
　�Bの黒眼の中央に穴を開けて瞳孔を作る(�Cの例）。
　　その時の作品に合わせてこれらの技法を適宜使えば効果的。
　ただ切り折り紙の原点(紙を切って折って作る)から見るとこの技法は邪道、使いすぎると品が落ちそうだから注意して使おうかなっと、、、。
　　　

　参考までに層状にはがしやすい紙とはがしにくい紙の差。
　上の図のように線維が縦横にからみあっている紙では層に分けてはがすことはできません。和紙などがこのような紙に当たります。
　下の図のように厚みの方向に繊維があまり絡み合っていない紙では、層状にはがすことが容易です。

PS　あ、そうだ2009/06/15で五万ヒット行きました。今後とも御贔屓くださるようお願いいたします。
　

　横を向いた動物を作って上を向かせるか、下を向かせるかは紙を切り抜いた後でも変更が可能である。まずは左図の如く首の線と背骨の線だけ決定して紙を切り抜く。そこで首の線、背骨の線だけをつまんで折り筋をつけるとあいまいな形だが何とか牛が出来上がる。

　（上図のように)そこから上を向いた牛を作るには、幾何学的には上の図のように(中3レベルの数学だよな)折り線を加えて折り上げる。慣れてくると上向け、上向けと念じるだけで上を向きだす。

　(上手のように)同じように下を向いた牛を作るには、幾何学的ルールに沿って角度を決めて折り上げる。慣れてしまえば下向け、下向けだけで下を向く。
　牛を例に使ってはいるが、馬だってドラゴンだってなんだってかまわない。

　横を向いて下を向いた動物は安らぎを、横を向いて上を見上げる動物は緊迫感を表現する、と私は考えている。この理屈を書くと長くなるだろうから、いつか機会があったら書くことに決めておく。

　私の場合、畳めるということを重視しています。畳むことができれば「(封筒などに)しまえる、持ち運びできる、プレゼントできる」わけで、実用上たいへんに大事です。
　そこで畳めるためには何か条件があるのではないか、解析してみたらありました。まずは横を向いた牛の型紙で見てみましょう。
　まずは下の方を向いた牛、首の線と谷折り線のなす角度ｘ°が、谷折り線と背骨のなす角度y°より小さい、つまりx<ｙの場合です。
　これをたたたんでみると各角度の間には次の関係が成り立ちます。　　
　　　　　　 ｚ1=ｚ2-x+y
　　よって　z1+x=z2+y　
　　　　　　x+y+z1+z2=360　
　　よって(z1+x)+(z2+y)=2×(z1+x)=360
　　よって　 z1＋x=(z2+y)=180

　次にX>yの場合、同様に
　ｚ1=ｚ2-x+y　が成りたつ、よって結論も同じ。

　さらにx=yの場合、中央の山折り線と他の折り線は直線であるから
　　　z2=180-y、　z1=180-x=180-y=Z2 　　　　
　　　　　x+z2=y+z1=z1+x＝z2+y=180

　結局どの場合においてもx+z2=y+z1=180が成り立ちます。
　
　これを局所的平坦条件といいます。先行報告者は川崎敏和先生、川崎先生は折り鶴の変形理論で知られ、さらに有名な川崎ローズの発明者です。
　川崎先生の本＊から引用しますと
　「一点から放射状に延びる折り線で紙が平坦に折りたためる時
　　　（i)折り線の数は4以上の偶数、
　　　(ii)折り線のなす角の一つおきの和は180°」　これは川崎定理と呼ばれるようです。
　
　こういう知識が果たして必要なのか、普通は要らないと思います。でもそうたとえば、たまにあなたが行き詰ったとき、そんなときに素晴らしいヒントをくれるかもしれません。

　＊川崎敏和著「バラと折り紙と数学と」森北出版株式会社1998

　中割折りの中央でない山折り線を背骨にした場合、上の3つのケースが考えられる。
　頚部の頚椎の線と谷折り線のなす角度をｘ°、谷折り線と背骨の線をｙ°とした場合、上から
�@x=y （普通の左右対称な中割折り）
�Ax<ｙ（左右非対称な中割折り）
�Bx>y　（左右非対称な中割折り）
　これらを切り抜いて作品に仕上げると、

�@頚椎の線と背骨の線とが平行になる。
�A首が下を向く。
�B首が上を向く。
　
　私の場合�Aを牛年用にたまたま作って、それから数学的に解析していったらもしかしてと�Bの可能性に気づいた。ああ気づいて良かった。

前回の記事で、左右対称でなくても中割折りと呼ぶ、そういうことに決めました。それを前提にお話を続けます。

上から
１　従来から使っていた中割折り。これまで紹介してきた以前の私の作品では、3本の山折り線のうちの真ん中の線が必ず動物の背骨のラインになっていました。

　首を横に曲げた動物を作るにはこの背骨のラインを真ん中以外の山折り線に移すことが必要です。
　２はその例、左右対称ですから外側にあるどちらの山折り線を背骨のラインにしても同じです。
　
　これが３，４のような左右非対称な中割折りになると事情は異なってきます。どう違うかというとその話はまた次回に、、、。

　
　2009年の干支、牛の切り折り紙は私の22年に及ぶ切り折り紙史上エポックメイキングな作品でした。これまで動物を作って横を向かせる際には出来上がった作品をいじくりまわして、半ば強引に横を向かせていました。それを設計段階から首を横に向かせることに初めて成功した、それが本作です。出来てしまえば大したことではありませんが、ここに来るまで20年もかかってしまいました。

　できた後でなんで出来たのだろうと解析を始めるのが私の仕事、みなさんにも伝わるようになんとか説明してみます。

　まずは壁面に当たるパーツを1→2→3→4というふうに単純化して、型紙を単純なフレームの状態へと戻していきます。（こういう学問を位相幾何学といいます）

　同じモデルを上から見たところ、単純化が進むと同時に基本となる構造が見えてきます。どっかで見たような折り方ですね、そう中割折りです。

　先ほどの４のモデルのパーツを4→5→6とちょっとづつ変形していくと、あれ中割折りになっちゃいます。これまで学習してきた中割折りは７の左右対称なタイプ、今回登場した６のモデルは左右非対称なタイプ。左右非対称でも中割折りと言うのかって？、私にもわかりません。仕方ないので６のような折り方を左右非対称な中割折りとここでは呼ぶことに決めてしまいます。先行する名称が見つかればそちらを検討しますが、果してあるものやら？知ってる方がおられたら教えてくださいね。

　金魚の別パターンの背びれの作り方です。

　背びれの部品を頭の前に切りだします。

　これを下面から持ってきて背中の切り込みを通すのですが、大きすぎて切り込みを通り抜けられないので二つに折ります。

　この状態で両側を合わせて持って、

　下面から切りぬきを通り抜けさせます。

　（今度は上面から見たところ）切り込みを通り抜けたら畳んだ背びれを再度広げます(折り筋は背びれの筋に見えますので気にしなくても大丈夫)。

　広げたらハサミで背びれの形を整えます。背びれは両側を糊づけしたっていいでしょうし、片方を切り落としてもいいでしょう。でも実はこの背びれ、いつの間にか頭部の形を横に広くして出目金を作るのに役立っている。だから切り落とすときはストッパーになっている基部は残したほうが形がゆがまないでしょうね。

　なおこの出目金は、我流切り紙人さんがすでに発表なさった金魚の型紙からアイディアを借用しています。深く感謝申し上げます。

　魚の背びれや飛行機の垂直尾翼、こういった表現するために使う技法が「切れ目から引き出す」技法です。
　まずは魚の背びれから

(上図)背びれを体の側面に切りだして、背中には切り込みを入れて(＊この切り込みは写真で見やすいように大きく切ってあります)

(上図)それを魚の内側に折り返して、切れ込みを通して外側に引き出します。

　すると横から見るとこんな感じ。この例の場合、背びれの後ろに切り込みを入れてこれを背中の部分にひっかけてストッパーにしています。背びれの切り込みは前でも後ろでも両方でも構いませんが、人間は基本的には前から見るものなので後ろにつけた方が目立ちません(例外もいっぱいあるでしょうけど)。

　これが飛行機の垂直尾翼だと

　まずは垂直尾翼を後ろに切りだして、

　ひっくり返して裏(下面)から差し込んで

　押し込んで固定します。この例の場合は切り込みのストッパーなしでうまく固定できたのかな？

　完成図。F16ファイティングファルコンとHIMAT(ハイマット、High Manuability Air Technique アメリカ軍の戦闘機のデータ収集用の実験的無人機)のイメージ寄せ集めてみました。
　
　自分で設計するコツは、、、、私にきくより紙に教わった方が速いでしょうね、たぶん。

紙を曲げてできる曲面(＝可展面)には柱面、錐面、接線曲面の三つがあるが実際に使うのは柱面と錐面だけはすでに書きました。では実際の作品でどう使われているかを見てみます。

　和田洋一先生の「たのしいペーパークラフト、作って遊ぼう！みんなの動物園(メイツ出版、1000円、2006年」からレッサーパンダとオウサマペンギンの作って例にしてみます。
　矢印で示したごとくさりげなく柱面と錐面が使われて自然な丸みを出すのに使われています。
　作って見て気がついたのはレッサーパンダの顔面の鼻の左右に使われた中割折り、さりげなく使っていますね。

　可展面を多用する上で役に立つのはのりづけです。糊づけを避けて紙に切り込みをいれて切り込みを互いにひっかけて固定する方法もありますが、それをやると手間が格段に増えるうえに手先の器用さ要求されます。紙と紙を引き寄せて固定すると、紙の弾性で自然な曲面が得られます。曲面の多用は上級者のたしなみ、いろいろ応用してみてください。　

　役に立つ小技、首の後ろに切り込みを入れて動物の自然な首の形に近づける。
　左の黄色い牛は切りこみを使わなかった例。かぶせ折りを二回使った下げ折りのバリエーション＊だが、ノドの部分の紙がめくれて頭の付け根が細くなってしまう。
　＊典型的下げ折りは山折りと谷折りの頂点が接する（一応ね）。
　右の薄緑の牛は首の後ろに切り込みを入れた例。折ることの影響がノドの方に及ばないので首が細くならない。
　今年の牛でも使ったし、去年のネズミでも使っている。目立たないが汎用性の高い技術と思われる。
　

　接線曲面について一言で言ってしまうと、ペーパークラフトではまず使いませんから覚えなくても結構です。

　え、そりゃあんまりだ！そういう方のために以下の文章を書いておきます。
　ネット上で今の時点で収集できた情報はこれだけ、
　Wikipediaの可展面に関する記載の中にほんのちょっと、
　三谷純先生の「デジタル時代のペーパークラフト」の中にもちょっと、
　一番詳しかったのはブログ「仙台単身赴任生活」の「ぺーパークラフトの中の数学�T」の中の記載でした。このブログから一部を意訳＊して引用しますと
・接線曲面（曲線の接線の包絡曲面）
・接線曲面とは、たとえば蚊取り線香の形を紙で切り取り、中央を持ち上げたような形である。
・ペーパークラフトに一般の接線曲面を応用することはまれであると考える。
・ペーパークラフトは(接線曲面を除く)可展面(＝柱面・錐面)の組み合わせで、立体表面を近似的に表現する技術である。

＊文章の一部だけを取り出すと意味が通じなくなるため言葉を補足しました。正確に読みたい方はリンク先を参照のこと。

　私の言いたいことはすでに言い尽くされているようです。

　それから三谷先生にはメールで質問させていただき懇切なお返事をいただきました。メールの文章をそのまま引用しますと
「接線曲面は、3次元曲線の接線の集合で定義される曲面なので、きちんと設計す
るのは難しいと思います。つるまき線に接するヘリカルコンボリュート面がはすば歯車などの一部に使われるなど、工学的に意味のある曲面が含まれますが、それ以外についてきちんと言及されているものを私は見たことがありません。
（適当に作れば、なんらかの接線曲面の一部が含まれるのかもしれませんが）、接線曲面をペーパークラフトの一部としてきちんと使うには、きちんと数学的に形をつくらないとならないような気がします。」
　三谷先生には厚く感謝申し上げます。ちなみに三谷先生はJun's paper craft コーナーの管理人さん、いやあこのサイトにはお世話になって、、、(この話は後日)。
　
　最後にブログ「仙台単身赴任生活」から美しい図を借用、うーんきれいだ。
　

柱面に比べると錐(すい)面の場合、多少の計算が必要である。

　可展面のうち錐面は曲げる線の軸が一点に向かうものを指す。ちなみに平面上においては平行な線以外はすべて交点をもつわけだから、隣り合う曲げ線が平行でないものはすべて錐面の変形ということになる。中学の数学で習う円錐のように頂点が目に見える分かりやすいものもあれば、紙の外に頂点があって補助線を使うことなしには頂点が見つけられない錐も存在する。適宜折った紙というものは、頂点の位置の異なる円錐の表面の一部が次々とつながっていると解釈することも可能である。
　誰にでも理解しやすいかは疑問だが、中学で習うよりも複雑な数学・物理学の世界を我々は生きているわけで、この辺がこの世界の面白いところである。
　
　これを折っていくと下図のごとし（といってもどちらの向きに折るかは規定していないので適当にやっているわけだが）。

　柱面と違って折った後はでこぼこした形になって机の上に素直に座ってくれない。これを頭の中で計算できればいいのだが、最終形態がちょっと複雑になるだけでも計算はムリ。だから最終形態のイメージをもとに作っては修正修正で最終図面のようなものに到達する。紙だからやり直しも簡単なんだけどね、問題はいい展開図にたどりつけるかどうか。

　一応作品例、展開図は切り折り紙な日々を参照(近日アップします)。

可展面の中で柱面を使いこなすのは比較的簡単である。柱面の条件は曲げの軸線が
平行に走っていること、実際にはピンセットあるいは割り箸を使って紙の端をつかんで(はさんで)くるくると丸め適当に形を整えれば、柱面の応用の出来上がりである。
　
　むずかしいとしたらこれを生かしたデザインを考え出すこと、でもそれはクイリングといってすでに確立したジャンル。そこで切り折り紙的な特性をもったクイリングを考える。
　
上段　まず普通に丸めて普通のクイリングをやってたあと、少しだけひねりを加えて紙同士が重なるように作ってみる。
中段　紙が重なり合う部分に切り込みを入れる。
下段　切りこみ同志をかみ合わせて、平面に沈める。
　この技を使った応用例3/8�@、3/8�Aを参照のこと。

PS　この噛みあわせの技法、とっくにやった人がいるに決まっています。まだ見つけてはいませんけど。

　 切り折り紙において曲げるが登場する場面はごくわずか、それもきわめてわかりやすい使われ方しかされません。なぜかと言えば紙を曲げて得られる曲面(＝可展面＊)はたった3種類しかないからです。その三つとは柱面、錐面、接線局面です。
　

　柱面とは曲げの軸線が平行線になるもの、円錐面とは曲げの軸線が一点に集まるものを指します。
　
　
　　上は柱面を使った作品例、お雛様の男雛です。胴体が柱面の応用で出来ています。背景のオーロラも柱面の応用です。
　

　上は円錐面を使った例、今年の干支の牛くんです。首の部分にさりげなく錐面を使っています。
　ただしこの曲面を使う技法には欠点が一つ、しまいづらいんです。(下図のように)もとの平面に戻した状態でしまうことはできるんですが、この状態で人にあげた場合、もらった人はもとの完成形に戻せるもんなんでしょうか。戻せないと思った方が正解です。

　

　もっとも基本的な事柄について語ることはむずかしい。この世界の特性において、人間は他の物体に対して何らかの強制を強いることができ、平面あるいは棒状のもの(線的な性格を持っているともいえる)に対しては曲げるという行為を行うことができる。私の経験上、物体には同時に一つの空間を共有することを拒否する性質があり、このことを利用して人間は他の物体に対して移動を強制することができるらしい。

　分かっていることは紙に対して平面と直角な方向に力を加えると紙は曲がる、曲がりを徐々に大きくして復元可能な曲がりの限界を超えると、折れるという現象が発生する。

　曲げただけなら元に戻せるが、折ったものは戻せない。このへんが数学的世界と物理の世界の違うところ、現段階では人知のおよばぬところなのだろう(たぶん)。
　辞書で調べると英語で曲げるはbend、折るはbendとfold(たたむ)。欧米のオリガミストは折るをなんて言ってるんだろう？　そのうちペーパークラフト関係の洋書を読んでみよう。いつも眺めてるだけなんだよね(だって読まなくたってわかるもの)。
ＰＳ　ネットで調べていたらorigamiBBSに次の表現が見つかった。
　「座屈　buckling 　材料の破壊のひとつ。板、円柱などが、おもに、圧力を受ける方向と直角方向に急激に曲がること。「折り目」は、非可逆的な破壊であり、一種の座屈と考えることもできなくもない。(03047)」
「ホイル紙は折ってんのか曲げてんのかハッキリしないし、和紙には「お前は負曲率曲面かっ」と言いたくなるし（笑）。それに比べて洋紙は折りごたえのある座屈感が‥‥こう‥‥ね、いいのですよ！(03045)」
　さすが折り紙探偵団の掲示板、恐れ入りました。